《物理世界与数学世界整体性的统一问题》《创新物理学》之四

物理世界与数学世界整体性的统一问题

李小坚1),龚劫存2)

1)(北方工业大学自动化系,北京 100144)2)

† 通讯作者.E-mail: tienzen.gong@gmail.com  电话:(626)369-0926

摘要:本文从考察数学的完备性与可计算性出发,提出对应物理系统的完备性问题与可计算问题。给出一个物理符号系统及其漏洞的定义,给出了系统补漏建造过程,得出最终系统和整体系统。总结了整体系统特性。定义了自我空间,指出数学世界、物理世界、生命系统、太极系统拓扑结构上同构。定义了虚无空间、和无量空间,它们可以包容一切、创造一切。

关键词:完备性 可计算性 对应原则 自我空间 虚无空间 无量空间

I.数学的一致性和完备性

从古希腊人到近代数学家笛卡尔、牛顿、欧拉等数学家相信:数学是真实世界中客观现象的准确描述工具。并且他们把数学当作物理世界的全部结构与设计的蓝本。换句话说,数学是绝对真实的、自然的。但是,现代数学已逐渐走向随意创造的想象世界,逐步远离真实物理世界。今天几乎所有数学家又都承认数学具有人工创造的任意性。换句话说,数学不再是绝对,而是任意创造的。

数学可以描述物理世界,但数学是否包容全部物理世界?反过来,数学所创造的世界有无相应的物理世界对应的踪迹?物理世界能否体现数学所创造的世界?以上问题,构成数学的任意创造论与数学的客观自然论的一个悖论。到底物理世界与数学世界是否能统一?

我们考察数学的三个流派:形式主义、直觉主义和逻辑主义。

逻辑学派是由Russell 和 Whitehead.领导的,他们以逻辑本身发展数学,而不用任何真正的数学公理。尽管如此,逻辑学派的发展也基于一些逻辑和定理,而这些定理就像公理后来的推理那样被使用。

形式主义学派由Hilbert领导。他试图不使用集合论去建立一个数学理论,而是使用算术的一致性。他发展了数学证明方法去建立所有形式系统。不使用反证法来证明定理的存在性。形式主义者也主张逻辑在数学证明中同时应用。总之,对于形式主义者,数学的合理性是各种形式系统的总结。

直觉主义学派由Kronecker领导。他觉得Cantor对集合理论的研究不是数学而是神秘主义。他乐于接受全部数集,因为,这些数集直觉地看得很清楚。直觉主义认为数学是在语言,逻辑和经验之前就存在于人的头脑之中的东西。

三个数学流派关于数学的本质和方法之争的重要性还在于数学是否具有一致性和完备性。至于数学是否完美,这也许不是数学本身能解决的问题,而成为哲学研究的领域。

数学里至少有四个问题,各个数学流派都无法解决。

第一个,数学里有很多的不可定义的概念。第二,所有公理都有任意性。第三,所有学派里都面临一致性问题。第四,各个学派都存在完备性问题。

在形式主义学派,Hilbert把几何的一致性降低到了算术的一致性,但是,后者的一致性是有待解决的问题。逻辑学派把算术的一致性推到了逻辑。但是,逻辑学派的确有很多的未定义的想法。公理系统必须从它的某一个不被包括的定义的无限递归而定义。逻辑公理的一致性也是有待解决的问题。直觉主义的一致性更是未解决的问题。

20世纪一个很有影响的数学理论是哥德尔(Kurt Godel)的不完备性定理。第一不完备性定理:任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统,都存在一个命题,它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。第二不完备性定理:如果系统S含有初等数论,当S无矛盾时,它的无矛盾性不可能在S内证明。

换句话说,如果有数学理论的命题S,但S和not-S不能同时是该理论的命题。总是存在不能在本系统的范围内被证明的概念,但在别的系统的范围内正确的命题。这样,没有一个数学系统能够自圆其说,能包容所有的全部内容。这个数学系统的不完备性结果适用于全部数学学派:逻辑主义、形式主义和直觉主义。

这样的不完备性定理,限制了数学家和物理学家对我们的现实世界最终本质的完全理解。

II :物理系统对应原则

传统的物理学一直是遵循着从下而上的原则建立的一套经验性的理论。也就是从观察形成假说,再用实验验证和更多的观察检验,使假说成为物理定律。这样的归纳方法能够发现牛顿万有引力,但是还是不能理解产生引力的理由。同样,通过观察,我们可以发现智能系统中存在智能行为和规律,但归纳法不能使我们明白智能的起源。

但是,如果能够用严密的演绎和推理方法构造出一个数学系统,而这个数学系统与物理世界的行为和规律是一致的,那么,换句话说,我们应用了数学与物理对应原则。为了从数学系统演绎出完整的物理学系统。我们认为存在对应原则——物理系统的完备性与数学系统完备性是同构的。

我们已经确定有一定的机制,推出一个新理念:数学系统与物理系统存在一一对应关系。

我们进一步推出如下猜想。

公理1:所有物理问题都能在数学世界中有对应的问题。

有了这个原则,我们可以:

1、数学不再仅仅是作为一种工具或作为一种语言来描述物理世界,而且数学本身也对应着物理世界面临的问题。

2、以数学为基础,构建一个完整的物理模型。

3、可以构建一个数学系统与物理系统同构或有一一对应的结果。’

应用这个原则或猜想,我们来探寻物理世界的诸如物质的起源和智能的起源问题。

III :可计算性

我们从三个数学问题:可计算性(computability)、可数性(countability)和不可数性(uncountability)开始,考察数学世界与物理世界的关系。

数学里的递归函数的定义是非常技术性的,连续的和与积的序列都属于最初级的递归函数。下列三个定理在数学中已被证明。

定理A :全部递归函数都是算盘可计算。

定理B :全部算盘可计算的函数都是图林(Turing)可计算。

定理C :全部图林可计算的函数都是递归。

全部可计算的函数都是图林可计算?丘奇(Alonzo Church)论题给出没有数学证明的结论。由于图林计算机具有无可比拟的能力。图林计算机与任何真正的计算机至少有两点不同。一,图林计算机具有无限的记忆空间。二,图林计算机是理想的机器,不用通电不消耗能量,而且不限定时间。即使到了世界的末日,它还能做计算。

丘奇论题并不是根据图林机的这两个令人惊异的能力,而是,图林机没有能力知道在什么时候停止计算。这就是图林机的无休止计算问题,或叫做忙碌的河狸问题。

运用图林机的这两个令人惊异的计算能力,图林机可以永远并且认真地进行函数计算功能。但这样,我们和图林计算机一样都无法知道那个函数是可计算。除非我们或图林机本身能发现计算过程应该在某点停住,并打印出答案:函数值或是无法计算。

如果结论是无法计算,则该函数是不可计算。这样忙碌的河狸问题就有可解的答案。现在数学上证明:如果丘奇论题是正确的,那么,忙碌的河狸问题就是不可解的。

这个问题表明数学计算里面也存在有漏洞。我们为某些函数不可计算性提供简单地证明存在定理,引作公理。

公理2 :存在函数不可计算(无论是用图林机还有别的什么计算机)。

系1 :存在至少一个不可数的无限数。(Georg Cantor在很久以前证明了这点)。

定义1 :数学世界是两个集合A、B的并集, A.是全部可计算函数的集合;B是不可计算函数的集合。

引理1 :所有可计算的函数都能用2代码函数表现:

(0,1),(阴,阳),(是,非),或者(V,A)。

注:很多的数学书证明了这个定理。

推论1:因为数学世界存在不可计算的集合,根据对应原则,物理世界里也存在不可计算的部分。

1976年西蒙和纽维尔 (Simon 和 Newell)提出物理符号系统假设(physical symbol system hypothesis)。它是认知心理学建立和发展的重要理论基础,也是人工智能的重要里程碑。他们认为一个物理符号系统的符号操作功能主要是:输入符号;输出符号;储存符号;复制符号;建立符号结构,既确定符号之间的关系;条件性迁移,就是依赖已经掌握的符号继续完成行为。按照这一假设,一个系统如果能表现出智能的话,就一定能执行上述功能;如果一个系统具有这些功能,那么它一定具有智能。反过来,可以将任何一个具体的具有智能的物理系统看成是信息加工系统,即物理符号系统。因此,得出物理符号系统是表现智能行为必要和充分的条件。

但物理符号系统的程序化过程不能确定符号可计算或符号不可计算。所以,我们不能得出物理符号系统是可计算集合。根据公理2,物理符号系统存在不可计算集合。恰恰是物理符号系统不可计算部分,阻隔着探索最终的物理理论系统。只要将不可计算部分包含在物理理论系统中,这样的物理理论系统才是完备的和完整的。由此得出定理一。

定理1:物理世界是由可计算部分和不可计算部分构成。可计算部分能用2代码函数表示。

IV :物理符号系统的数学描述

物理符号系统也可以简单地对应于智能系统。物理符号系统的可计算部分可以由计算机来计算和表示。而物理符号系统的不可计算部分存在什么地方,如何进行数学表述。

为了简化这个讨论,我们将在概念层次上的给出一个物理符号系统的描述,并且用例子讨论上述问题。我们将不提供严密的定义和定理证明。

例子1 :集合A = {0, ‘, +, *, =}. 其中符号“’ ”“ * ”可以任意定义,例如0 = 0, 0′ = 1, 0” = 2, 0”’ = 3, … ., F1 是一个函数: F1(0””) = 0”, F1(0””””’)=0”’, 等等,.. F1, F2,… 都是基于集合A所包含的符号的函数,由它们构成函数集合FA = {F1, F2,…}. 它们的函数值构成集合 R = {0, 0′, 0”,…}.

定义2 :全部数学函数都被叫做函数。

定义3 :集合A的元素为有限的个数,其元素是符号,集合A被叫做基集。

定义4 :集合F的全部的元素都是函数,F是一个函数集合。

定义5 :函数集合FA的所有元素仅包括那些在基集A中的符号, FA是基集A的函数集合。

定义6 :集合 RA = {0, 0′, 0”,…}的元素是函数集合的函数值,RA是函数集合FA的值程。

定义7 :集合LA中(L1,L2,…)的元素是任何逻辑所定义的逻辑算子,集合LA称作基集A的逻辑集合。

定义8 :F属于FA ,L属于LA ,P = LF称作命题。P属于PA。

定义9:如果集合SA 是基集A、函数集合FA、值程集合RFA、逻辑集合LA、命题集合PA的并集,那么集合SA是集合A的一个数学系统。SA=(A,FA,RFA,LA,PA)

定义10 :P1,P2,…,Pn是命题。如果P = Pn,n是有限的,P在SA中是真,否则,P为伪。

定义11 :F是FA的元素, F是属于SA的合法函数,如果F至少有一个函数值属于SA。

例如:F是平方根的函数,F(2)不在SA中,但是,F(4)=2在SA中。这样,F是SA里的合法的函数。

定义12 :如果H = F(x) 不属于SA,F属于SA的合法函数,或者,如果是H = P(命题)和P为伪,那么H是系统的SA的一个漏洞。

我们用上面所定义的语言重新定义数学系统、物理符号系统或智能系统,并进一步阐述和运用Godel不完备性定理。

定理2 :如果系统Sr包括系统Sp,并且如果系统Sp服从不完备性定理,系统Sr有至少有一个漏洞。

例如,在讨论可计算性的系统中,丘奇论题目和忙碌的河狸问题形成漏洞。他们之中的至少有一个不可证。不可证明的漏洞,也就是不可计算的部分。

定理3 :如果系统Sf的元素的个数为不可数无穷数,Sf有至少二个漏洞。

现在,我们能够运用Godel定理包含漏洞和弥补漏洞的过程来建造新系统。

我们从系统S1开始,并且,它有一个不可证明的命题A1。这个系统至少有一个漏洞。然后我们通过引入公理A1那样,将S1与A1合并构造系统S2。运用Godel定理,S2中将有A2个不可证明的命题。将S2与A2合并构造S3,如此进行下去,这个过程一直到可计算的无限数。这样的过程称为系统补漏建造过程。

定义13 :Sr是系统,Hr={h1,h2,h3,…hn},且h1,h2,h3,…hn是Sr的漏洞,Hr被称作系统Sr的漏洞结构。Hr=0,Sr就是拓扑球;Hr=1,Sr是拓扑平面;HR=2,Sr就是拓扑面包圈,等等。

定义14 :Sr是服从Godel定理的系统。SF是反复运用系统补漏可计算无限数次数后建造的系统,SF被叫做最终系统。

定义15 :集合T是Sf(其元素的个数为无限数)和其漏洞的并集,T被叫做整体。

至此,整体和最终系统被定义。

推论2 :T(整体系统)包含SF(最终系统)。

推论3 :一个包含所有系统及其漏洞的整体系统T在该系统领域具有最高智能。

由此可见,一个包含某个领域所有系统及其漏洞的整体系统具有该领域最高智慧和最大能量,包含一切,洞察一切,解释一切。一个完美系统的建造应该多次运用系统补漏建造过程,逐步逼近最终系统。

我们正是运用以上方法,弥补物理世界的漏洞,建造一个不断完美的物理理论SF,并最终可达整体终极物理系统理论T-—TOE(a final theory—Theory of Everything)。

V.整体系统的特性

现代物理学的基础是“哥本哈根解释”的海森堡不确定原则,即“互补性”原则,由三部分组成。

1、一个整体(总体)必须由两个相对部分组成。

2、这两个截然相反的部分必须相互排斥。

3、这两者是互补的。

哥本哈根的解释显然没有反映不确定原则的真正含义。当我们想得到一个更精确的粒子位置的测量(较小的ΔX),我们必须支付的代价是更不准确的动量信息(较大的ΔP),反之亦然。也就是说,“ΔX”向“ΔP”转变,就像“阴阳”的转变。ΔX和ΔP是相互包容(中国古典哲学),不是相互排斥。海森堡不确定性原理,事实上,可以是物理学的相互内含性原则!经过补充互补包容精神之后的整体图像,竟然就是中国古老的太极图。

太极图由三部分组成。

1、一个整体(总体)必须由两个相对部分组成。

2、这两者截然相反的部分分别是阴与阳。

3、这两者是相辅相成的,并相互包容,相互转化。

大约在5000年前中国就发明了太极这种相互内生的概念和阴阳相关术语。阴和阳两种完全相反的势力、关系或力量相互包容、相互转换叫做相互内生性。在冲突的时候,阴阳是对立的力量。在通常情况下,阴和阳不仅相互补充,而且相互嵌入在彼此之中。阴或阳在达到他们的全部力量之后,它们转变成了相反的对方。也就是说,阳变阴,阴也变成阳。因此,阴(弱的)可以战胜阳(强大的)。阴通过屈服,并允许阳达到它的全部力量,然后最终导致最终转换为阳到阴。这一概念不仅是一个非常强大的政治策略、生命策略,而且,这是理解最终真理的唯一途径。

从太极图像表象上,阴鱼、阳鱼分别是上下两面,从阴鱼(或阳鱼)的眼向对面看到阳鱼(或阴鱼)。也就是一个太极球体,阴阳两半,两个眼相通构成一个通透的洞。

太极阴阳与易理数学上表达构成一个七色系统或拓扑结构等价于面包圈。

推论4 :一个太极系统是一个整体,它的拓扑结构是一个面包圈。

太极图是研究周易学原理的一个重要的图象。它包含了天地万物的共同规律,所以有人说它是宇宙运行的模式,是古代科学的精华,也是现在科学的灯塔、真理探索的指南针。

定义16:任何一个整体,如果拓扑结构是一个面包圈,即为自我。

定义17:包含无穷多个自我的集合X,称为虚无空间(nothingness)。

推论5 :一个系统能且仅能由7色描述,它的拓扑结构是一个面包圈。

定义18:任何一个自我B,如果完成如下三者联合,即为新的整体TB。

i)虚无(nothingness)

ii)联合关系(Union process)

iii)B

推论6 :一个向上联合产生的新整体TB,还是一个自我,它的拓扑结构还是一个面包圈。

定义19:任何一个自我B,如果完成如下破裂,并产生新的整体PB。

i)虚无(nothingness)

ii)破裂关系(breaking process)

iii)PB

推论7 :一个向下破裂过程产生的新整体PB,还是一个自我,它的拓扑结构还是一个面包圈。

定义20:任何一个自我B1,一个自我B2,如果有一个关系B3(B1,B2)是自我,并产生新的整体T(B1,B2,B3)。

推论8 :一个并行产生的新整体TB= T(B1,B2, B3),还是一个自我,它的拓扑结构还是一个面包圈。

推论9 :数学世界是一个整体TS,物理世界是一个整体TW,生命系统全体是一个整体,太极系统是一个整体,它们的拓扑结构上同构,即都是一个面包圈。

定理4:有限可数(countable)的多个拓扑面包圈可以用而且仅用4种颜色区分开来。

定理5:无限可数 (uncountable)的多个拓扑面包圈可以用而且仅用7种颜色区分开来。

推论9 :一个虚无空间X,已经将7种颜色融合变为无色。其结构等价于(0,无穷大,关系:无穷大/0)。

推论10:虚无空间不仅包容一切并且可以创造一切现实空间的事物,像魔术师的口袋,但要遵循一定的创造法则。

具体如何创造物理世界的过程,我们将另外著文一一描述,这是一个完整的物理世界:FU0,FU2,FU3。

定义21:包含无穷多个虚无空间的集合G,称为无量空间(God Space,or Gong Space)。

推论11:从无量空间不仅包容一切而且可以创造出一切,包括虚无空间,甚至精神和信仰。

定理 6: 无量空间 = 虚无空间

 

VI 结论

第一,数学具有不完备性,形成漏洞。

第二,任何物理系统也总存在漏洞。漏洞在物理世界形成矛盾的问题。任何消除矛盾,弥补漏洞的方法,在现实世界是有意义的。

第三,通过弥补漏洞的过程,可以达到最终系统。

第四,最终系统是能够包含无穷命题的系统。整体系统比最终系统还大,都是自我。

第五,数学世界、物理世界、生命系统、太极系统都是整体系统,拓扑结构上同构。

第六.无穷个自我空间构成虚无空间,虚无空间包容并可以创造现实世界的一切。

第七,无穷个虚无空间构成无量空间,无量空间包容并可以创造一切,包括创造虚无空间,甚至更抽象的事物,如宗教。

事实上,二千多年来中国人使用易经和阴阳五行理论解释万物,即使在今天还有很多人在使用,而且没有人发现有任何错误。正因为没有错误,也就使得中国没有机会在500年前发展西方式的科学。

然而,本文指出,不仅东方和西方同在一个地球生活,彼此应共享相同的知识。我们的目标是在东方与西方之间的架起桥梁,在理论和实践上丰富彼此。从知识的差异开始,我们可以跨越文化的差异,相互包容,相互促进,相互融合,使得东西方成为一个整体,大同世界即可实现。

现在,是时候来做这件事了。现在,我们能够做这事了。那么,让我们一起来做这个对世界有益的事,让这个世界变得更好、更完美!

参考文献

[1].Jeh-Tween Gong, The Divine Constitution,Chicago, Adams Press, ISBN 0-916713 -05-9,1992

[2]http://www.prequark.org/Na1.htm,  How to Think About the Unprovable and the Unthinkable

[3]《物理世界与数学世界的统一问题》, http://www.pptv1.com/?p=21

[4]Jeh-Tween Gong,  Super Unified Theory , US copyright TX 1–323–231,1984
[5] Tienzen (Jeh-Tween) Gong,Truth, Faith, and Life , Adams Press, Chicago. 1990, ISBN 0-916713-04-0

[6]  Tienzen (Jeh-Tween) Gong,Linguistics Manifesto  ISBN 978-3-8383-9722-1,

[7] https://tienzengong.wordpress.com/

[8] http://www.prequark.org/Ftoe.htm

[9]http://www.prequark.org/Gravity.htm

[10] http://www.prequark.org/pq11.htm

[11] http://www.prebabel.info/

[12] http://www.prequark.org/Pq1.htm

[13] 科学方法的正确性问题 , http://www.pptv1.com/?p=324

 

 

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