2021-03-12
中国学者汪一平李小坚团队在微积分方程中取得从0到1的突破
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中国学者汪一平、李小坚团队分别由浙江省衢州市老科协和北京北方工业大学联合组成的数学研究团队。创新性提出一种以概率、拓扑、中心零点为核心的以圆函数为底的对数,可以在许多科学领域,进行[从0到1]的算术化分析,称圓对数。这是基础数学的重大突破。
一、“一元 N 次(高阶次)方程”根式的整数解
数百年来,各种函数都可以写成的“一元 N 次(高阶次)方程”。如何求解?
一元一次方程、一元二次方程早在二千多年前中国的《九章算经》就已经提出。16世纪数学家韋达、阿卡丹、格雷戈里等找到一元三次方程、一元四次方程。人们期望下一个挑战应该是一元五次方程。1665年牛顿已经发现二项式展开,研究的方向从牛顿-莱布尼茨(Newten-Leibniz )分别创造了微积分单变量“无穷小比值”的微积分概念。
1732年数学家欧拉对于如何寻找大于五次高阶次微积分多项式方程,提出了一个称欧拉积公式。要求根与多项式系数联系的算术化解法。数学家们从探索多项式方程的根式解过程中,发现微积分已经可以与代数-几何连接起来,前赴后继研究,无果。1824年阿贝尔-拉菲尼茨定理认为五次方程不可能有代数解。以致多项式研究被暂时仃顿下来。
19世纪20年代柯西以更加严谨化的方式建立微积分形式,微积分被称为“逻辑运算”或“概率运算”。微积分成为工程系统的计算工具。
1831年伽罗华提出了“集合论”的离散型计算,攻克一元五次方程问题。1843年法国数学家约瑟夫·刘维尔公布,认为这个计算还不是真正意义的一元五次方程。
1872年克莱因(Felix Klein)的爱尔朗根纲领(Erlangen Program)展示了群对称在几何中的作用,数学界进一步发现代数、几何与算术、矩阵、群、簇分别结合,广泛应用到工作中,它们可能具有相同的变化规则。
数学家们在发现微积分缺陷,除了补充改进,仍然有一部分人继续探索任意阶次微积分方程,试图建立能够处理一般的五次方程和高阶微积分方程,解题的要求:采用数学的“算术化”方法,即计算方法仅限于算术的加减乘除乘方开方六种,其实质是探索数学分析的算术化。至今没有获得满意的进展。
该团队公开的实例有:一元6次/7次/11次和附例一元2次/3次/4次/5次微积分方程进行[0到1]计算的完整解题。新的微积分方程成为“没有导数的函数”具有中学数学和代数知识的任何人都可以验证、计算。
二、微积分方程的改革
数学无所不到,人类对未知变量苦苦不舍的追索。不断发现传统微积分单变量-极限概念,不适应微积分多变量群组合-中心零点概念。改革微积分理论成为当代世界热门课题。
迄今为止所有的微积分改革理论,“破”找不到根源,不能彻底,“立”找不到方向,没有根据。都没有取得突破性进展。
关键点在于:改革传统微积分无穷小变量之比的极限迫近方法,成为微积分无穷大群组合之比的精确方法。微积分改革最重要的贡献之一:彻底解决几百年来传统微积分一直没有整明白的不稳定性“奇异性对称极限零点”为明确的稳定性“奇异性相对对称精确中心零点”,以及平行与串行整合一体计算的系列问题。
从数学发展史上来看,17世纪60年代牛顿总结了“二项式”之后,世界数学没有继续发挥多项式的优势,偏离了方向建立传统微积分,以及延伸的各种函数与算法,使得数学计算由简单到越来越复杂,曾经的传统微积分发展带动了科学,科学的进步又赋予数学新内容。圓对数算法又从复杂回复到简单。“二项式”的发展确是走了一段必要的弯路。现在是时候了,应该正本清源、拨乱反正,还世界数学一个更深刻的简单。特别是高阶与低阶微积分方程的联系有了行之有效的处理后,可以在科学领域里赋予更广泛应用。
由于传统微积分的先天性缺陷与科学迅速发展的今天产生了尖锐冲突,或者说数学研究扯了科学的后腿。人们往往把微积分的改革与计算机芯片架构联系在一起。这二个内容进步与工程应用的结合程度成为体现一个国家的综合实力的标准,国际上竞争非常激烈。
进一步说,基于圓对数对于微积分的改造表现在:数学上把离散型微积分计算与纠缠型微积分的各种算法整合为一个整体;计算机理论上把二个模式识别图谱与神经网络图谱整合为一个整体;物理上把连续的宏观引力理论与离散的微观量子理论整合为一个整体。
在微积分改革上中国与其它国家都是站在同一起跑线上。汪一平、李小坚团队率先在在微积分方程中取得“从0到1”的突破,走在了世界数学基础改革的前列。
三、朗兰兹(Langlands)系列猜想
数学家们的眼光转向“数学基础”的根本问题研究,分别出现了形式主义、逻辑主义、直观主义、集合论等四大数学学派纷争的局面。重新认识了当前数学基础的不牢固性,如何改革微积分,实现数学[0到1]的大统一,以满足科学发展的需要。
1902年勒贝格(Lanbesgue,Henri)引入群集合概念,提出“勒贝格测度”,启动了微积分一个新革命,把黎曼积分的变量改成为微小的子区域为群集合剖析,微积分计算又回归到长度与面积的概率。
迄今最大的数学成果是:解决离散型群组合对称性的多项式方程统计计算,广泛用于大数据计算机。但是在面对纠缠型任意高阶微积分方程求解,特别是对于现实大量存在的“对称与不对称性、均匀与不均匀性、连续与离散、收敛与扩散”的,以及实变函数、复变函数、泛函分析,其它种种函数,包括人工智能、神经网络,以及无监督学习等,除了“误差逼近分析”,还没有找到好的算法。
1967年朗兰兹(Langlands)以一系列猜想形式提出,期望出现一种简单的公式,把各种不同的算法统一起来,在[0,1]封闭区域里进行算术化解析,称“朗兰兹纲领”,朗兰兹纲领具有广阔的现实应用前景和非凡的历史意义,成为当前各个国家研究机构和数学家的热点课题。
汪一平、李小坚团队,成功地进行微积分改革。微积分改革的亮点是:任意高阶微积分多变量的数学模型,都可以采用无关数学模型统一在[0到1]算术化精确解析。满足了“朗兰兹纲领”——实现代数-几何-数论-群理论以及各个学派的算法的统一性。
四、智能计算与模式识别应用
近年来科学计算发展的一个重要特征是进行数值模拟和动态显示。如模拟没有重力的宇宙空间、天体运动、核聚变的等离子、酶的活性、人体器官和骨髂、大气环流、模仿脑神经思维能力等等,向数据与机理融合的建模与计算发展。几乎所有学科许多重要问题常常涉及“质量-时空”多区域、多层次、多尺度上发生的,具有高度的各向异性、不对称性、非均匀性,它们相互藕合、相互制约、相互转换的现象,都联系到微积分方程这个重要的计算工具的改革与应用,一直成为当代数学前沿研究课题。
当前,最为现实、最迫切的是各个国家都在努力改进算法、制造高算力新颖的万能计算机。试图实现应用物理机械替代或模仿人的大脑思维的人工智能,扩大人类拓展与协调自然的能力。
其实半导体的设计、制造技术早已有图灵机出现,如今做的工作都是1到10、到100,许多国家试图制造新一代计算机的三维1000计算模型,可是芯片工艺、材料、算法不容易跟不上,困难较大。
中国2018年3月科技部王刚在人大会议上说“这个[0到1]目前还是短板,国家正组织力量攻关”。2021年3月郝跃在人大会议上发言《努力实现更多“从0到1”的突破》,引起巨大反响。
20世纪初汪一平创新性提出了重整微积分概念:证明“概率-拓扑-中心零点”的互逆性相对对称的圓对数,称“三个幺(0,1)规范不变性”;提出以时间序列控制特征模和圓对数的高维与三维时空的“同心圆”进行树状环境组合展开。圓对数公式简洁、优美、实用。
计算机如何做到{0,1}之间的计算?突破点除了材料、工艺、资金、人才外,反映为芯片制造。芯片制造的核心涉及到“算法—微积分理论”。圓对数是在无关数学模型的、封闭的圓对数,进行{0,1}区间算术化分析求解。
目前,该团队研究的圓对数算法,有“任意高维微积分方程”和“模式识别图谱算法的无标签认知模型”,率先突破[0到1]的算术化分析。反映了圓对数具有强大算力、高效分析与精确认知。有望成为新一代的神经网络 (CRRT-AI)的数学基础和研究方向。
特别的,圓对数证明了时间序列控制着高维与低维关系,进入三维空间的{0,1}涡旋多维时空,称大自然基石三迭代、三元组生存元、树状三层次叠合,极大地提高算力和简化程序。
这样一来,重整的微积分通过圓对数算法,可以整合当代出现的拓扑-概率-中心零点等函数,以及平衡、转换、极值为一体;证明了微积分特征模和圓对数的相关定义和定理;把“实无穷与潜无穷”融合成为一体;整合了低维与高维、串行与平行、收敛与扩散、连续与离散、均匀与非均匀、对称与非对称等为一体,在封闭{0到1}区间进行算术化分析。解释了“超维空间捲缩在三维空间”,微积分只限“零阶、一阶、二阶对应物理的速度、加速度,动量、动能”的应用。这些数学成果都可以制作软件,具有软硬件简单、芯片架构简化、节省材料、提高工效、提高算力、节约成本优越性。。
五、“0到1”不是那么能轻易破解的
当前世纪性数学难题进入相互制约、相互依赖、相互交叉的局面,任何一个人想单挑独斗地破解某一个数学难题往往受到其他数学难题牵扯,是很难满意成功。
“0到1”看似简单,许多国家都在研究,要突破它们难关重重。有据可查汪一平从1982年5月投稿以来,数十年如一日悉心研究,破解一系列数学难题逐渐取得严谨性、完整性突破。其中破解的有:“欧拉积公式”、“互逆定理”、“阿贝尔-鲁菲尼不可能定理”、“P=NP完全问题”、“归一化问题”、“霍奇猜想”、“黎曼猜想”、“路径积分(时间序列)”;其它还有“费马大定理”、“贝尔不等式”、“庞加莱拓扑猜想”、“哥德巴赫猜想”等都有拓展与改进。公开发表工程应用的有“纠缠型规范场的没有质量的[0,1]计算”、“离散型流体力学没有空间的[0,1]计算”等。成功地整合了连续与离散、均匀与不均匀、对称与不对称为一体,转换为互逆性的相对对称性(有称奇异性相对对称)圓对数的[0到1]算术化展开。可见,突破“0到1”之路的艰辛。
最后,汪一平表示;当今世界正经历百年未有之大变局,新一轮科技革命和产业变革深入发展,面对我国“十四五”时期以及更长时期发展的迫切要求,作为科技工作者更加注重自主创新、守正创新,实现更多“从0到1”的突破。赢得未来发展新优势,从而让中国科技之光照亮复兴之路。
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